Местное сжатие каменной кладки 

Расчет каменных конструкций на местное сжатие встречается при проверке прочности кладки на участках опирания на нее про­гонов, балок, ферм, стальных и железобетонных колонн, каменных столбов и простенков, выполненных из более прочной кладки, чем кладка, воспринимающая нагрузку от этих столбов и простенков, и в ряде других случаев. Норма­тивное сопротивление кладки местному сжатию R^н_см больше нор­мативного сопротивления сжатию R^н при равномерном распреде­лении нагрузки по всему сечению. Запишем следующее условие прочности каменной кладки в сечении, подвергнутом мест­ному сжатию:

N ≥ [N] = μ_см R_см F_см , (1)

где

R_см  = R ³√ (F/ F_см) ≤ ψ` R, (2)

при пределе прочности раствора  R ^н₂ ≤ 2 кг/см²

R_см  = R. (3)

R_см - расчетное сопротивление местному сжатию в кг/см²;

ψ` - коэффициент, зависящий от вида кладки и места загружения (для кладок из кирпича, бута, обыкновенных бе­тонных и керамических камней при загружении по типу рис.1 в, г  ψ` = 2, по типу рис. 1, б ψ` = 1,15).

R - расчетное сопротивление центральному равномерному сжатию в кг/см²;

F_см - площадь сжатия, на которую непосредственно передается нагрузка, в см²;

F - условная, так называемая расчетная площадь сечения элемента, воспринимающего местную нагрузку, в см²;

μ_см - коэффициент полноты эпюры давления от местной нагрузки.

Рис. 1. Местное сжатие

(а - расчетная плотность при местной нагрузке на стену; б - то же, при краевой местной нагрузке на стену; 

в - при местной нагрузке на стену от прогонов и балок при l ≤ 2d;

г - то же, при l ≤ 2d; д - к формуле  μ_см = N / σ_макс F_см )

Расчетная площадь се­чения F определяется, ис­ходя из следующих правил:

а) при местной на­грузке стен в расчетную площадь сечения F, кро­ме F_см, включаются участки сечения стены на длину не более толщины стены в обе стороны от краев местной нагрузки (заштрихованные пло­щадки на рис. 1, а);

б) при местной краевой нагрузке в расчетную площадь,  кроме F_см, включается участок сечения, примыкающий к краю местной нагрузки на длину не более толщины стены (рис. 1,б);

в) при местной нагрузке стены от опирания концов про­гонов и балок в расчетную площадь сечения включается площадь сечения стены, ограниченная осями двух соседних пролетов между балками (рис. 1, в). В случае если расстояние между балками превышает двойную толщину стены, в расчетную площадь включаются уча­стки по обе стороны балки, на длину не более толщины стены (рис. 1,г).

По проекту новых технических условий ширина площади F в случаях рис. 1,в и г принимается равной t — глубине опирания балок.  

В (2) предполагается, что местные напряжения распреде­лены равномерно по площадке смятия. Между тем часто распре­деление напряжений неравномерно и сопротивление кладки каменных конструкций в этом случае будет меньшим, что и учитывается коэффициентом полно­ты эпюры давления, определяемым по формуле 

μ_см = N / σ_макс F_см , (4)

N — объем фактической эпюры напряжений с максимальными напряжениями σ_макс (рис. 1,д).

При треугольном распределении напряжений, следовательно, N = ½ σ_макс F_см = 0,5, и следовательно, μ_см  = 0,5, при равномерном распределении давле­ния μ_см = 1.

Рис. 2. К расчету кладки при свободном опирании и за­делке балок

(а - схема прогиба балки;   б - напряжения   под  балкой   при а_б  ≥ а₀,

в - то же, при а_б  ˂ а₀ , г - эпюры напряжений при заделке консоль­ных  балок)

Форма эпюры напряжений и их максимальная величина под опорами балок зависят от способа опирания (свободное опирание, консольная заделка), длины опорного конца, жесткости кладки и балки, характера и величины нагрузки. Рассмотрим прежде всего случай, когда балка свободно (без заделки) опирается на кладку. Под нагрузками балка прогибается и вследствие этого ее опорные концы повернутся, как это показано на рис. 2,а. Поворот балки вызывает неравномерное распределение деформаций и давлений под концом балки, которые приближенно принимаются распреде­ленными по линейному закону с максимальными напряжениями у грани стены. Действительное распределение напряжений не может быть по линейному закону, так как деформации и напряжения в кладке не связаны линейной зависимостью, о чем уже говори­лось выше.

При свободном опирании балки могут быть два случая. Пер­вый возможен при больших углах поворота конца балки в, а так­же в случае малой деформативности кладки. В этом случае конец балки частично приподнимается над кладкой, и давление передается только по площади длиной а₀ (рис. 2,б), а эпюра напряжений имеет форму треугольника с центром тяжести, расположенным на расстоянии z = а₀/3 от внутренней грани стены.

Из условия равновесия внешней нагрузки N (опорная реакция балки) и внутренних сил — напряжений в кладке под балкой ши­риной b_б можно записать

а₀ = 2N / b_б σ_макс . (5)

Полагая линейной зависимость между осадками А постели балки — кладки и напряжениями σ = с∆, можем найти величину максимальных напряжений

σ_макс =с∆_макс , (6)

но так как

σ_макс =са₀tgᴓ , (7)

то из формул (5) и (7) найдем

а₀ = √(2N /cb_б tgᴓ), (8)

где с — коэффициент постели кладки, равный:

для затвердевшей кладки

c = 50R^н /b_б ; (9)

для свежей кладки

c = 35R^н /b_б . (10)

Решая равенство (1) для рассмотренного случая, следует принимать

μ_см = ½ и  F_см = а₀b_б . (11)

Если а₀ по формуле (8) больше длины опорной части бал­ки а_б, то это значит, что имеет место второй расчетный случай, когда конец балки на всей длине а_б передает кладке давление, распределенное по закону трапеции (рис. 2,в). Такой случай воз­можен при малых углах поворота ᴓ и малой жесткости кладки.

Решение задачи начнем с определения среднего напряжения

σ₀ = N / а_бb_б . (12)

Из рис. 2, в следует

σ_макс  + σ_мин = 2σ₀ , (13)

а из условия линейной связи напряжений и осадок 

σ_макс  - σ_мин = а_б сtgᴓ . (14)

Решая совместно (13) и (14), получим:

σ_макс = σ₀ + (са_б /2) tgᴓ и σ_мин = σ₀ - (са_б /2) tgᴓ . (15)

При проверке прочности кладки под балкой для второго случая принимается

μ_см = N /  σ_макс F_см = σ₀ а_бb_б / (σ₀ + (са_б /2) tgᴓ) а_бb_б = 1 / 1+ (са_б tgᴓ / 2 σ₀) и F_см = а₀b_б . (16)

Для консольных балок, заделанных в кладку, распределение давления на опорных концах может быть найдено из условия рав­новесия. Заделка балки вызывает при изгибе появление в кладке над и под балкой (рис. 2,г) треугольных эпюр напряжений от изгиба, величина максимальных ординат которых определяется по формуле сопротивления материалов

σ_и = M/W = 6M/ b_ба² _б , (17)

где М — момент в заделке относительно центра заделки от нагру­зок, действующих на консоль.

Кроме того, от вертикальных реакций возникают равномерно распределенные напряжения

σ₀ = N / а_бb_б. (18)

Суммируя и на внутренней грани стены, получим макси­мальные значения напряжений

σ_макс  = σ_и  + σ₀  = N / а_бb_б (1+ 6е₀ /а_б), (19)

где

е₀ = M / N . (20)

Напряжения от равномерного сжатия и изгиба на площадке над балкой будут вычитаться один из другого.

Пользуясь формулами (20) консольной балки, находим

μ_см = 1 / (1+ 6е₀ /а_б) и F_см = а₀b_б . (21)

В формуле (2) предполагается, что напряжения в преде­лах площадки F—F_см равны или близки нулю. Если на этой пло­щадке действуют напряжения σ₂, то условие проч­ности на местное сжатие по площадке F_см при воздействии на нее расчетной продольной силы N₁ можно записать так:

N ≤ [N] = μ_см F_см R`_см, (22)

где R`<sub>см</sub> — расчетное сопротивление кладки по площадке F<sub>см</sub> при наличии напряжений σ<sub>2</sub> на площадке F—Fсм. Для определения R`_см имеется два предложения. Согласно пер­вому, приведенному в проекте новых Технических условий

R`<sub>см</sub> = R<sub>см</sub> + σ<sub>2</sub> (0,8 – ψ`₁). (23)

По второму предложению

R`<sub>см</sub> = R<sub>см</sub> <sup>3</sup>√(K/(K+ σ<sub>2</sub> (ψ`³₁ - 1))), (24)

где

R_см= ψ`<sub>1</sub>R;   ψ`₁ = ³√(F/ F_см) ≤ ψ` . (25) 

При σ₂ = 0 (напряжения на площадке F - F_см отсутствуют) по обеим формулам получается одинаковый результат R`<sub>см</sub> = R<sub>см</sub> при σ<sub>2</sub> = R (напряжение σ<sub>2</sub> не должно превышать R) по формуле (23) R`_см  - 0,8R, в то время как по формуле (24)

R_см = ψ`<sub>1</sub>R <sup>3</sup>√(K/(K+ R (ψ`³₁ - 1))) = R, (26)

Таким образом, при упомянутом выше условии формула (24), не допуская повышения напряжений за счет местного сжатия, приводит к случаю равномерного сжатия по всей пло­щадке F.

В настоящее время отсутствуют опытные данные, которые позволили бы обосновать расчетные формулы и поэтому, по-ви­димому, до проведения таких опытов целесообразно пользоваться формулой, дающей больший запас прочности.