Примеры расчета стержней

Пример 1. Найти необходимое число связей для центрально сжатого составного стержня (по рис. 1, а), шарнирно опертого по концам.

Дано: сечение стержня — три доски 5×20 см; длина стержня 1 = 3 м, сжимающая сила складывается из yN₁ = 6 000 кг от постоянной нагрузки и N₂ = 2 500 кг от временной снеговой нагрузки.

В качестве связей принимаем гвозди l = 150 мм, d = 5 мм.

В данном случае гибкость стержня относительно оси х - х заведомо меньше, чем относительно оси у - у, поэтому расчет ведем только относительно оси y-y

Расчетная формула:    σ=N/Fφ≤R_c

Отсюда    φ≥N/(F R_c) ≥σ_c/R_c;    R_c =130 ru/cм²
F = 5∙20∙3 = 300 см².

Величина коэффициента продольного изгиба φ зависит от гибкости стержня. Гибкость же составного стержня зависит от числа поставленных связей. Определим число связей-гвоздей исходя из полного использования напряжения сжатия:

σc =N/F= 33.7кг см²;
φ≥33.7/130=0,26

Значению φ = 0,26 соответствует по графику гибкость λ =109. Гибкость данного стержня, как стержня цельного сечения:

λ_ц=300/0.289∙15= 69.

Величина коэффициента приведения гибкости μ определяется из соотношения    μ=λ/ λ_ц=109/69=1,58

Рис. 1. Составные стержни
(а — стержень-пакет на гвоздях; б — стержень со сплошной прокладкой на гвоздях)

Из выражения     μ=√(1+k_с(bhn_ш)/l_о²n_c),    определяем число гвоздей:

n_c= k_сbhn_ш/l_о²(μ²-1)

Здесь     k_с = 1/10d² =1/10∙0,52 =0,4 ;     h =15см;     b = 20 см;     n_ш = 2;     l_o = 3 м.

Следовательно, n_c=(0,4∙20∙15∙2)/32(1,582-1)=17,8 шт/м
Ставим по четыре гвоздя через 23 см; это дает число гвоздей (рис. 1, а) на 1 м длины стержня    n_гв=100∙4/23=17,4≈17,8

Определим для сравнения число гвоздей, пользуясь более точной формулой коэффициента приведения гибкости: 

μ=√(1+В)/(1+αВ);     В=γS/elm_c 

для гвоздей γ=700/cd; c/d=50/5>7
следовательно, в расчет вводим c=7d=7∙0,5=3,5см; γ=700/3,5∙0,5=400 cм^-1; S=5∙20∙5=500 см²
е=5см; l = 300 см; В = 400 500/5∙300 m_c
α=∑J1/J=1/n2доск=1/32=1/9
Следовательно,
μ=1,58 √(1+133/ m_c)/(1+(1/9)∙133/ m_c)
отсюда находим m_c = 64 шт. Число гвоздей на 1 м длины стержня     n_с= m_c/l =64/3=21,3 > 17,8.

Расчет в данном случае не идет в запас прочности.

Следует отметить, что найденная выше характеристика податливости гвоздей γ = 400 в данном случае вполне соответствует по формуле расчетному коэффициенту податливости k_c .

В самом деле    k_c =1/10∙0,52=0,4=400/1000= γ/1000

Таким образом, разница в результатах расчета объясняется целиком разницей в структуре приближенной и более точной расчетных формул.

Пример 2. Проверить на продольный изгиб верхний пояс фермы, состоящий из двух досок сечением 6×20 см. со сплошной прокладкой того же сечения между ними. Длина панели верхнего пояса l'=2,5м. Доски пояса сбиты гвоздями l = 175 мм, d = 5,5 мм, поставленными по четыре через каждые 20 см . Сжимающее усилие в верхнем поясе складывается из усилия N₁= 7 000 кг от постоянной нагрузки и усилия N₂ = 6 000 кг от временной снеговой нагрузки.

Расчетное усилие N = 7 000 ∙1,1+6000 ∙ 1,4 = 16100 кг.

1. Расчет относительно оси у—у. Гибкость стержня тех же размеров, но цельного сечения    λц=l0/r_ц

При определении гибкости составных стержней со сплошными прокладками берется момент инерции всего сечения, а площадь — только опертых ветвей, т. е. ветвей, нагруженных сжимающей силой. Следовательно,
J=20∙183/12=9720 cм²
r_ц= √9720/240=6,36 см;
λ_ц=250 /6,36=39.

Коэффициент приведения гибкости    μ = √1+k_c(bhn_ш)/l_о²n_c)
Здесь k_c=1/10d²=1/10∙0,3=0,33; b=20 см; h=3∙6=18 см; n_ш=2;
n_с=100/20 = 20;     μ = √1 +0,33(20∙18∙2/2,52∙20)= 1,68.

Приведенная гибкость    λ_пр = 39∙1,68 = 65;     φ = 0,67;
σ=16100/240∙0,67=101<130 кг/см²
Следовательно, сечение стержня и число гвоздей вполне достаточны. 

2. Расчет относительно оси х—х.
J_расч = J_оп+0,5Jн_.в.=2∙(6∙203)/12 + 0,5 (6∙203)/12 = 10 000 см⁴;

F = 2∙6∙20 = 240 см²;     r_ц=√ 10000/240 = 6,45;

λ=250/6,45=39<65

Здесь 65 — ранее полученная гибкость относительно оси у — у. По более точной формуле получим
J_расч =2∙6∙20³/12 + (6∙203/12)/(1+(0,66∙4000/20∙40∙2,54))=11700>10000 см⁴ т.е. в данном случае расчет по формуле идет в запас прочности.