Продольный изгиб каменной кладки 

Как известно, каменная кладка не подчиняется закону Гука. Отсутствие прямой пропорциональности между де­формациями и напряжениями не позволяет для оценки  влияния продольного изгиба на прочность кладки воспользоваться извест­ным из курса «Сопротивления материалов» решением Эйлера. Проф. Л. И. Онищик вывел формулу для определения коэффи­циента продольного изгиба φ, учитывающую переменность модуля деформаций кладки.

Коэффициентом продольного изгиба φ₀ в «Сопротивлении ма­териалов» называется коэффициент уменьшения основного допу­скаемого напряжения на осевое сжатие при продольном изгибе. Для каменной кладки коэффициентом продольного изгиба φ называется коэффициент снижения предела прочности кладки при сжатии за счет продольного изгиба.

Для материалов, обладающих площадкой текучести (напри­мер, для мягкой стали):

φ₀ = σ⁰_кр  / R`, (1)

где  σ⁰_кр  - критическое напряжение при продольном изгибе в ма­териалах, подчиняющихся закону Гука;

R' - предел текучести.

Для каменной кладки

φ₀ = σ_кр  / R`, (2)

где σ_кр  — критическое напряжение при продольном изгибе камен­ной кладки с условным пределом текучести R' = 1,1R^н.

Критическое напряжение σ⁰_кр при постоянном модуле упругости материала Е₀ по формуле Эйлера:

σ⁰_кр = π² E₀ (r/l₀)² , (3)

где   r — радиус инерции;

l₀ — расчетная длина элемента.

Для определения критического напряжения σ_кр каменного эле­мента принимаем ту же формулу (3), но вместо постоянного, значения Е₀ примем значение Е по формуле ( E = dσ/dξ = E₀ (1 – (σ/1,1R^н))), тогда:

σ_кр= π² E(r/l₀)² = = π² E₀ (1- σ_кр /R`)(r/l₀)². (4)

Из формулы (3) и (4)

σ_кр = σ⁰_кр (1- σ_кр /R`). (5)

Раскрывая скобки и делая преобразования, получим

σ_кр= - σ⁰_кр / (1+ σ⁰_кр /R`). (6)

Теперь разделим правую и левую части выражения (6) на R' и, учтя (1) и (2), получим:

φ = φ⁰ /1+ φ⁰. (7)

Из формул (1), (3) и ( Е₀ = αR^н), помня, что R'=1,1R^н, получим          

φ⁰ = (π²/1,1) α (r/l₀)² = 9(√α(r/l₀))², (8)

для прямоугольных сечений (r = а/√12, где а – высота сечения)

φ⁰ = 0,75(√α(а/l₀))² (9)

Обозначив

λ_пр = l₀/r √1000/α (10)

β_пр = l₀/r √1000/α (11)

и подставиви λ_пр  в формулу (8), а β_пр в (9), получим для сечений произвольной формы

φ = 1/ (1+ λ²_пр/9000); (12)

для прямоугольных сечений

φ = 1/ (1+ β²_пр/750). (13)

Как было отмечено ранее, величина R'=1,1R не для всех видов каменной кладки достаточно хорошо подтверждается экспериментом. Для некоторых видов кла­док (из ячеистых бетонов, вибрированиых кирпичных кладок и др.) установ­лено R' значительно большим 1,1R. В этом случае, согласно (6), σ_кр уве­личивается и приближается к величине σ⁰_кр, соответствующей идеально упру­гим материалам. Соответственно изменяется φ, приближаясь к φ₀. В прак­тических расчетах это обстоятельство пока не учитывается, для всех видов кла­док принимают φ, исходя из R'=1,1R.

Рис. 1. Схемы: а – к определению расчетной длины элемента l₀ при определении коэффициента продольного изгиба;

б – эпюра φ при шарнирных опорах

(1 – обе опоры неподижные; 2 –верхняя опора упругая, нижняя – заделана (для зданий с двумя и больше пролетами);

3 – то же для однопролетных зданий; 4 – верхняя опора отсутствует).

В табл. 1 приведены подсчитанные по формулам (12) и (13) коэффициенты продольного изгиба φ.

Таблица 1

Расчетная длина элемента l₀ принимается в зависимости от фактической высоты элемента Н и опорных условий по данным рис. 1, а.

В элементах, имеющих неподвижную верхнюю опору (рис.1,а,1), в опорных сечениях коэффициент продольного из­гиба φ=1. В средней трети высоты φ принимается по данным табл. 7. На остальных участках φ принимается по интерполяции, как показано на рис.1,б. В элементах, имеющих упругую верхнюю опору (рис. 1,а, 2 и 3) или свободно стоящих (рис. 1,а, 4), при определении коэффициента φ пользоваться эпюрой рис. 1,б не разрешается.

В случае если элементы имеют по высоте переменное сечение, го коэффициент φ приближенно определяется следующим обра­зом:

а) при неподвижной верхней опоре, как для элемента с по­стоянным по всей высоте сечением, размеры которого определя­ются в средней трети высоты элемента;

б) при отсутствии верх­ней опоры или при упругой верхней опоре: при расчете нижнего участка элемента, как для элемента с постоянным по всей высоте сечением, размеры которого определяются в нижнем сечении эле­мента, а при расчете верхнего участка элемента, как для элемента с высотой верхнего участка с постоянным сечением, размеры ко­торого определяются в нижнем сечении верхнего участка эле­мента.