Расчет сжато-изогнутых стержней

Сжато-изогнутыми стержнями деревянных конструкций называются стержни, находящиеся под одновременным воздействием изгибающего момента и продольной сжимающей силы.

Изгибающий момент может создаваться поперечной нагрузкой, внецентренно приложенными продольными сжимающими силами, кривизной стержня, несимметричным ослаблением поперечного сечения врезками и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Схемы работы сжато-изогнутых стержней

При расчете сжато-изогнутых стержней учитывается, что, помимо основного изгибающего момента М от всех действующих сил (кроме N), определяемого исходя из недеформированного очертания стержня, появляется дополнительный момент Nf от продольной силы N. Здесь f — полный прогиб стержня от действия всех нагрузок, в том числе и силы N.

Далее исходят из условия, что под действием расчетных нагрузок наибольшее сжимающее краевое напряжение не должно превышать расчетного сопротивления. При этом краевое напряжение определяется с учетом полного изгибающего момента и нормальной силы по формуле :

  σ=N/F+M/W+Nf/W        (1)

Для всех видов симметричных нагрузок прогиб f принимается приближенно равным прогибу от синусоидальной нагрузки при синусоидальной форме изогнутой оси, определяется по формуле:

         f=f_o / (1-(N/N₀))          (2)

Здесь f₀ — прогиб от поперечной нагрузки, а также от начального момента Ne (рис. 1);

          N_э — критическая Эйлерова сила N_э =  π²EJ/l²   при любой гибкости стержня.

При изгибе по синусоиде прогиб f_о в середине стержня может быть выражен через изгибающий момент М в середине стержня формулой:

   f₀=Ml²/π²EJ=M/N_э           (3)

Следовательно,по формуле

f=M/(N_э(1-N/N_э))=M/(N_э-N)      (4)

Подставляя значение f по формуле (4) в формулу (1), получим

      σ=N/F+M(1+(N/(N_э-N))/W,    но

1+N/(N_э-N)=1/(1-N/N_э)

Следовательно получаем формулу

σ=N/F+M/(W(1-(N/N_э)))               (5)

Величину 1 — N/N_э = ξ преобразуем, заменив N_э=F_э∙R_с∙φ_э где φ_э=3100/λ²

Следовательно, получаем формулу

ξ=1-(λ²/3100)·(N/F_бр·R_с)      (6)

Для предельного состояния, принимая во внимание, что расчетные сопротивления R_c и R_и могут быть не равны, и учитывая возможное ослабление сечения, получим расчетную формулу

σ=N/F_нт+M/(W_нтξR_н)        (7)

Здесь N и М  — расчетные значения сжимающей силы и изгибающего момента, определяемого, как указано выше.

         ξ — коэффициент учитывающий дополнительный момент продольной силы N при деформации элемента, находится в пределах от 0 до 1, учитывающий дополнительный момент от продольной силы N при деформации элемента.

При вычислении коэффициента ξ гибкость λ определяется по расчетной длине стержня так же, как при центральном продольном изгибе.

При небольшом изгибающем моменте, когда M/W_бр не превышает 10% от напряжения N/F_бр , разрешается проверять стержень на продольный изгиб от силы N без учета М.

При расчете сжато-изогнутых стержней из плоскости изгиба сжимающая сила принимается без учета изгибающего момента.

Поперечные и сдвигающие силы определяются с учетом их возрастания вследствие изгиба стержня. При сохранении предпосылки о синусоидальной форме изогнутой оси влияние изгиба стержня учитывается введением коэффициента ξ [формула (6)]. При этом значения поперечной и сдвигающей сил определяются: Q= Q₀/ ξ и Т=Т₀/ ξ, где Q₀ и Т₀ определены обычным образом, т. е. исходя из недеформированного очертания стержня.