Распределение напряжений в каменной кладке

Для приближенного решения задачи о распределении напряжений в кладке от действия на нее местных нагрузок используются методы теории упругости, строго говоря, справедливые только для идеально упругих материалов. Рассмотрим прежде всего случай, когда на бесконечную полуплоскость действует сосредоточенная сила Р и найдем напряжения на глубине h (рис.1,а). Эту задачу решил Фламан. Он показал, что напряжение σ_r , направленное вдоль радиуса r, расположенного под углом в к вертикали, может быть найдено при толщине пластины с по формуле

σ_r  = 2P/πс · cosθ/r. (1)

Рис.  1.  Схемы  распределения нормальных напряжений  под местными нагрузками на глубине h

(а - при действии сосредоточенной  нагрузки на  полуплоскость;   б - то  же,  на  край стены; 

в - то же, при расстоянии от нагрузки до края стены а₁ πh/2;  г - то же, при а₂ , и а₁ < πh/2;  

д - линия влияния для σ_L; 1 - теоретическая эпюра; 2 — расчетная эпюра)

Из условия равновесия элементарного треугольника и пользуясь формулой (1), получим значение вертикальной составляющей напряжения в кладке на глубине h

σ_у = σ_r   cos² θ =  2P/πсh cos⁴ θ =  2Ph / πс (h² - x² ). (2)

 При x = 0 (под силой на глубине h) 

σ₀  =  2P/πсh = 0,64 P/сh. (3)

Для практических расчетов криволинейная эпюра σ_у по формуле (2)  заменяется равновеликой ей по площади  треугольной, длина которой

s₁ = 2s =  πh. (4)

Величина s = s₁ /2 называется радиусом влияния сосредоточенной нагрузки.

В том случае, когда сила расположена на краю стены (см. рис.1,б), вертикальные напряжения в кладке под силой на глубине h могут быть найдены по формуле

σ₀ = 2,14 P/ch . (5)

При замене криволинейной эпюры равновеликой ей треугольной) и учитывая (5), получим длину зоны действия силы Р

σ₀  cs₁/2 = P, откуда  s₁ = 0,93h. (6)

При действии сосредоточенной силы Р на расстоянии от края кладки (рис.1,в) нормальное напряжение, действующее по одной вертикали с силой на горизонтальную площадку, расположенную на глубине h, может быть найдено по формуле

σ₀ = 2Рh²  (h² – a²₁)²c [((2πh - 2a₁)/(π² – 4)) – (a₁ /(h² + a²₁)) (h² – 3a²₁)], (7)

а напряжение для края площадки — по формуле

σ₁ = 2P/hc (1,07 — a₁ /h). (8)

Длину эпюры напряжений в кладке, заменив криволинейное очертание эпюры ломаным, определим по формуле

s₁ = 2P/сσ₀  -  a₁ (σ₁ /σ₀) . (9)

При расчете столбов и простенков часто встречаются случаи, когда их длина меньше 2s=πh и сосредоточенная нагрузка Р приложена на расстоянии а₁  и а₂ от обеих граней этих элементов, меньших s=πh/2 (рис. 1,г). Опуская выводы, приведем расчетные формулы для определения ординат трапеции приближенной эпюры напряжений на глубине h. Для напряжений по одной вертикали с силой

σ₀ = (Р/(2a₀c))(1+(0,4 a²₀ /h²)); (10)

σ₁ = (2Рa₂ /(a₁ + a₂) a₁c) – (σ₀ (a₁ + a₂)/ 2a₁); (11)

σ₂ = (2Рa₁ /(a₁ + a₂) a₂c) – (σ₀ (a₁ + a₂)/ 2a₂); (12)

где

a₀= (a₁ + a₂)⁴ / 8(a³₁ + a³₂). (13)

Если a₁ = a₂ = а, то формулы записываются так: 

σ₀ = (Р/(2ac))(1+(0,4 a²/h²)); (14)

σ₁ = σ₂ = (Р/(2ac))(1-(0,4 a²/h²)). (15)

Складывая по принципу независимости действия сил рассмотренные выше эпюры напряжений, можно решать различные задачи как с сосредоточенными, так и с распределенными местными нагрузками. При этом для решения практических задач эпюры напряжений удобно рассматривать как линии влияния напряжений в кладке. Так, например, для нахождения напряжения σ_L  в точке L, расположенной на глубине h и расстоянии a₁<πh/2 от края, при воздействии на каменную кладку системы сосредоточенных Р₁, Р₂, ..., Р_n и распределенных q сил (рис. 1,д), в качестве линии влияния используем эпюру напряжений, приведенную на рис. 1,в. Ординаты линии влияния будут соответствовать эпюре напряжений от действия силы Р = 1, приложенной над точкой L. Искомое напряжение будет определено по формуле

σ_L   = P₁ σ₁ + P₂ σ₂ + ...+q^ω, (16)

где σ₁ , σ₂ ,... — ординаты линии влияния для напряжений σ_L  в точке L (или, что то же, эпюры напряжений для силы Р = 1, приложенной над точкой L) под сосредоточенными грузами P₁ и Р₂; и — площадь линии влияния под распределенной нагрузкой q.

Когда местные напряжения оказываются опасными для прочности кладки, в целях уменьшения напряжений применяют распределительные устройства: балки и плиты, выполненные из более прочных и более жестких, чем кладка, материалов — обычно из железобетона. Эти устройства распределяют местные напряжения на кладку на большей площади и более равномерно, чем при отсутствии распределительных устройств.

Проф. Б. Н. Жемочкин показал, что при действии сосредоточенной силы Р на балку, лежащую на упругом основании, например на кладке, максимальное напряжение под балкой может быть найдено по формуле

σ₀ = 0,31 P ³√ (Ec / E₁ J₁), (17)

где Е и с — соответственно   модуль   деформаций   и толщин стены;

      E₁ и J₁ — соответственно модуль упругости и момент инерции балки относительно ее горизонтальной центральной оси (ее поперечного сечения). Из формулы (18) следует, что чем больше жесткость распределительного   устройства   по   сравнению   с   жесткость кладки, тем  меньшими будут передаваемые на  кладку максимальные напряжения σ₀.

Проф. Л. И. Онищик для упрощения расчета предложил заменить распределительное устройство эквивалентным слоем кладки каменных конструкций. Высота этого слоя кладки (т.е. приведенная высота распределительного устройства) h₀ может быть найдена из условия равенства напряжений под силой, найденных по формулам (3) и (18)

 0,31 P ³√ (Ec / E₁ J₁) = 2P/ πh₀ , (18)

откуда

h₀  ≈ 2 ³√ (E₁ J₁/Ec). (19)

Для балок и плит прямоугольного сечения с высотой h₁ и толщиной с из формулы (19) получим

h₀  ≈ 0,9h₁ ³√ (E₁/E). (20)

Если требуется найти напряжения не непосредственно под распределительной балкой, а на некоторой от нее глубине Н, то напряжения определяют для приведенной глубины h = h₀+H. В приведенных выше формулах модуль деформаций кладки принимается E=0,5Е₀, где Е₀ — начальный модуль деформаций кладки.