Учет податливости связей

Сопряжения, применяемые для соединения брусьев, досок или брусков, образующих составное сечение элемента, обладают (за исключением клея) значительной податливостью. Податливость соединений ухудшает работу составного элемента по сравнению с таким же элементом цельного сечения: увеличивает деформативность, уменьшает несущую способность. Меняется и распределение усилий в связях по длине элемента. Учет податливости связей (гвоздей, болтов, шпонок) при расчете составных элементов необходим для правильного проектирования составных элементов.

Рассмотрим три деревянные балки одинакового пролета и одного и того же поперечного сечения, составленные каждая из двух одинаковых цельных брусьев и нагруженные одной и той же нагрузкой (рис. 1, а).

Рис. 1. Стержни составного сечения на абсолютно жестких связях (Ц), на податливых связях (П) и при отсутствии связей (От)

В балке Ц сдвигающие усилия, возникающие при изгибе, восприняты клеем. Клеевое сопряжение является весьма жестким и полностью восстанавливает монолитность сечения. Поэтому балку Ц можно рассматривать как балку цельного сечения, имеющую момент инерции J_ц, момент сопротивления W_ц и прогиб f_ц.

Представим себе, что непрерывный клеевой шов заменен большим числом отдельных одинаковых полосок клея, имеющих ширину b (ту же, что и ширина балки) и расположенных друг от друга по длине балки с небольшими равными интервалами. Работа балки в результате этой замены почти не изменяется. Каждую такую полоску клея можно рассматривать как отдельную жесткую связь. Если общее число полосок клея по длине балки будет равно mс, то усилие в любой полоске – связи - определится достаточно точно обычным расчетом по формуле

T_ц = (QS/J_ц)∙(l/m_c),

где l/m_c — шаг полосок клея.

В балке От связи отсутствуют. Момент инерции такой балки будет равен сумме моментов инерции J₁ составляющих ее элементов: J_От= ∑J₁ = 2J₁

Соответственно W_Oт = ∑ W₁ = 2W_l.

Прогиб fот балки От определится, как обычно, с учетом J_о = ∑J₁ = 2J₁.

Так как связей нет, усилие в связях Т_от =0.

В балке П сдвигающие усилия воспринимаются податливыми связями (нагелями, шпонками). По своей работе балка П занимает промежуточное положение между балками Ц и От. Действительно, прогиб балки П будет больше, чем балки Ц, имеющей жесткие связи сдвига, но меньше, чем балки От, где связей совсем нет.

Соответственно и условный расчетный момент инерции балки П будет по своей величине меньше J_ц, но больше J_От.

J_ц >J_п>J_От

Также и условный расчетный момент сопротивления

W_ц>W_п>W_Oт.

Усилие в любой податливой связи Т_п будет меньше, чем в соответствующей жесткой связи Т_ц.

Расчет балки на податливых связях можно свести к расчету балки цельного сечения введением расчетного момента инерции

J_п = k_жJ_ц 

расчетного момента сопротивления  W_п = k_wW_ц 

и усилия в податливой связи   Т_П = k_т Т_ц,  где коэффициенты kж, kw и kт меньше единицы.

Значения коэффициентов соответственно меняются:
для k_ж от 1 до (∑ J₁)/(J_ц);
для k_w от 1 до (∑W₁)/(J₁);
для k_т — от 1 до 0.

Соответственно расчетному моменту инерции J_п = k_жJ_ц прогиб f_П=f_ц(1/k_ж) 

Рассматривая далее те же самые балки в виде составных стержней, работающих на продольный изгиб или на сжатие с изгибом (рис. 1, б и в), путем аналогичных рассуждений придем к тем же выводам: работа стержней на податливых связях будет занимать промежуточное положение между работой соответствующих цельных стержней и стержней без связей.

Расчет таких стержней также может быть сведен к расчету цельных стержней с соответственно уменьшенными J и W. При этом учитывается, что возможные сдвиги в швах центрально сжатого составного стержня будут значительно меньше, чем сдвиги при поперечном изгибе. Сжато-изогнутые стержни занимают в этом отношении промежуточное положение между центрально сжатыми и поперечно изогнутыми.

Так как коэффициент продольного изгиба φ определяется в функции гибкости, то при расчете на продольный изгиб удобнее учесть податливость связей введением приведенной гибкости λП составного стержня, определенной по расчетному моменту инерции J_П

λ_П =l_o /(√(J_П/F)) = μλ_Ц 

Коэффициент μ, называется коэффициентом приведения гибкости.

Для стержней на податливых связях μ всегда больше единицы; если же применены абсолютно жесткие связи (например, клей), то k_ж и μ равны единице и λ_П = λ_ц.

Несущая способность на продольный изгиб клееного стержня равна несущей способности цельного стержня того же сечения. Если же связи совсем отсутствуют, то несущая способность определяется несущей способностью отдельных, не связанных между собой ветвей стержня.

Определение усилий в податливых связях, прогибов и расчетных значений J, W и λ составляет задачу расчета составных стержней на податливых связях. При решении этой задачи исходят из приближенного предположения об упругой работе материала стержня и связей. Задача может быть решена более или менее точным способом.

Нормы и технические условия на проектирование деревянных конструкций дают расчетные формулы по приближенному решению, получаемому из более точного путем ряда упрощений. Приближенные формулы удобны для практического пользования и во многих случаях дают результаты, мало отличающиеся от результатов расчета по более точным формулам.